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第二节 二重积分的计算法

2018-08-08 11:51编辑:igtpro.com人气:


第二  二重积分的计算法

教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法

教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分

教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题

教学内容:

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(二次积分)来实现的.

一、利用直角坐标计算二重积分

我们用几何观点来讨论二重积分

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的计算问题.

讨论中,我们假定

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假定积分区域

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可用不等式

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表示,

其中

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,

第二节 二重积分的计算法

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上连续.

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据二重积分的几何意义可知,

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的值等于以

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为底,以曲面

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为顶的曲顶柱体的体积.

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在区间

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上任意取定一个点

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,作平行于

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面的平面

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,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间

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为底,曲线

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为曲边的曲边梯形,其面积为

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一般地,过区间

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上任一点

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且平行于

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面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

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利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

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从而有

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                     (1)

上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把

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看作常数,

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只看作

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的函数,

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计算从

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的定积分,然后把所得的结果( 它是

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的函数 )再对

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计算定积分.

这个先对

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, 后对

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的二次积分也常记作

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在上述讨论中,假定了

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pk10,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的

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(

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上连续),公式(1)总是成立的.

例如:计算

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:

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类似地,如果积分区域

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可以用下述不等式

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表示,且函数

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,

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上连续,

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上连续,

 

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      (2)

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显然,(2)式是先对

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,后对

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的二次积分.

二重积分化二次积分时应注意的问题

1、积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

对于I(II)区域, 用平行于

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(

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)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.

如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I(II)区域的并集.

2、积分限的确定

二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二

次积分限的方法

-- 几何法.画出积分区域

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的图形(假设的图形如下 )

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上任取一点

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,

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作平行于

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轴的直线,该直线穿过区域

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,与区域

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的边界有两个交点

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,这里的

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就是将

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,看作常数而对

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积分时的下限和上限;又因

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是在区间

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上任意取的,所以再将

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看作变量而对

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积分时,积分的下限为

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、上限为

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.

1计算

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,其中

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是由

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,

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轴和抛物线

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在第一象限内所围成的区域.

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类似地,

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2计算

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, 其中

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是由抛物线

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及直线

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所围成的区域.

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3求由曲面

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所围成的立体的体积.

: 1、作出该立体的简图, 并确定它在

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面上的投影区域

  

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消去变量

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得一垂直于

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面的柱面

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,立体镶嵌在其中,立体在

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面的投影区域就是该柱面在

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面上所围成的区域

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2、列出体积计算的表达式

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3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算

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,

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的对称性有 

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所求立体的体积为

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二、利用极坐标计算二重积分

1、变换公式

按照二重积分的定义有

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现研究这一和式极限在极坐标中的形式.

用以极点

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为中心的一族同心圆

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以及从极点出发的一族射线

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,

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剖分成个小闭区域.

除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域

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的面积可如下计算

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其中,

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表示相邻两圆弧半径的平均值.

(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)

在小区域

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上取点

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,设该点直角坐标为

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,据直角坐标与极坐标的关系有

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于是

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由于

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也常记作

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, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式

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                (1)

(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,

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就是极坐标中的面积元素.

(1)式的记忆方法:

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2、极坐标下的二重积分计算法

   极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.

情形一】积分区域

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可表示成下述形式

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其中函数

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,

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上连续.

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情形二】积分区域

第二节 二重积分的计算法

为下述形式

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显然,这只是情形一的特殊形式

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( 即极点在积分区域的边界上 ).

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【情形三】积分区域

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为下述形式

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显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域

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的内部 ),

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可剖分成

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,

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由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域

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用极坐标变量

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表示成如下形式

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下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.

4将下列区域用极坐标变量表示

1

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2

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Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围

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Ë再过

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内任一点

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作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围

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.

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: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.

利用此题结果可求出著名概率积分

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.

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而被积函数满足

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,从而以下不等式

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成立, pk10,再利用例二的结果有

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,

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 ,

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于是不等式可改写成下述形式

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故当

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时有 

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,

 

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 .

3、使用极坐标变换计算二重积分的原则

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(

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,

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为实数 ).

6计算

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解此积分区域为

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区域的简图为

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该区域在极坐标下的表示形式为

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小结   二重积分计算公式

直角坐标系下 

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   X—型

             

第二节 二重积分的计算法

   Y—型

极坐标系下  

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作业 教材

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161 习题2I)(2)(331)(342)(4

(来源:新浪体育网)

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